テンソル積と自己準同型環による有限次Galois拡大の近代的・構造論的考察

補題 2.1の証明 $K$が有限体である場合、拡大体$L$も有限体である。有限体の乗法群$L^{\times} = L \smallsetminus \{0\}$は巡回群であるため、その生成元を$g$とすれば$L = K(g)$が成り立ち、題意は示される。
$K$が無限体である場合を考える。有限次拡大であるから、$L = K(\beta, \gamma)$の場合を示せば、帰納法により任意の有限個の生成元の場合に帰着される。$\beta, \gamma$の$K$上の最小多項式をそれぞれ$p(X), q(X)$とし、その$K$の代数閉包におけるすべての根を$\beta = \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r$および$\gamma = \gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_s$とする。拡大の分離性より、これらはすべて相異なる。$K$は無限体であるため、任意の$i \in \{1, \dots, r\}$および$j \in \{2, \dots, s\}$に対して $$\beta_i + c\gamma_j \neq \beta_1 + c\gamma_1$$ を満たす元$c \in K$を選ぶことができる（各$i, j$について高々1つの$c$が上式を等号にするため、有限個の禁止点を除けばよい）。ここで$\alpha = \beta + c\gamma \in L$と置く。当然$K(\alpha) \subset K(\beta, \gamma)$である。
多項式$h(X) = p(\alpha - cX) \in K(\alpha)[X]$を考えると、$h(\gamma) = p(\beta) = 0$である。また$q(\gamma) = 0$である。ゆえに$\gamma$は$h(X)$と$q(X)$の共通の根である。もし$\gamma_j \; (j \neq 1)$も共通の根であるならば、$h(\gamma_j) = p(\alpha - c\gamma_j) = 0$となり、ある$i$に対して$\alpha - c\gamma_j = \beta_i$、すなわち$\beta + c\gamma - c\gamma_j = \beta_i$より$\beta + c(\gamma - \gamma_j) = \beta_i$となるが、これは$c$の選択に矛盾する。したがって、$L$の代数閉包において$h(X)$と$q(X)$の共通根は$\gamma$のみである。したがって、$\gamma$の$K(\alpha)$上の最小多項式は一次式であり、$\gamma \in K(\alpha)$となる。これより$\beta = \alpha - c\gamma \in K(\alpha)$も従うため、$K(\beta, \gamma) \subset K(\alpha)$となり、$L = K(\alpha)$が示された。

補題 2.2の証明 自然な環準同型写像$\phi: R \to \prod_{k=1}^m R/I_k \; (x \mapsto (x \bmod I_1, \dots, x \bmod I_m))$を考える。この写像の核$\mathrm{Ker}(\phi)$が$\bigcap_{k=1}^m I_k$であることは定義から明らかである。したがって、$\phi$が全射であることを示せば、準同型定理より同型が従う。
$m=2$のとき、$I_1 + I_2 = R$より$e_1 + e_2 = 1$を満たす$e_1 \in I_1, e_2 \in I_2$が存在する。このとき$e_1 \equiv 0 \pmod{I_1}$かつ$e_1 \equiv 1 \pmod{I_2}$であり、逆に$e_2 \equiv 1 \pmod{I_1}$かつ$e_2 \equiv 0 \pmod{I_2}$である。任意の$(r_1 \bmod I_1, r_2 \bmod I_2)$に対し、$x = r_2 e_1 + r_1 e_2$と置けば、$\phi(x) = (r_1 \bmod I_1, r_2 \bmod I_2)$となり全射性が示される。
$m > 2$のとき、各$k \geq 2$に対して$I_1 + I_k = R$より$u_k + v_k = 1 \; (u_k \in I_1, v_k \in I_k)$が存在する。このとき $$1 = \prod_{k=2}^m (u_k + v_k) \in I_1 + \prod_{k=2}^m I_k \subset I_1 + \bigcap_{k=2}^m I_k$$ となるため、$I_1$と$\bigcap_{k=2}^m I_k$は互いに素である。これと数学的帰納法を組み合わせることで、任意の元への移り行きが可能となり、全射性が完全に証明される。

補題 2.3の証明 写像の個数$m$に関する数学的帰納法で示す。$m=1$のとき、$\sigma_1$は体準同型ゆえ$\sigma_1(1) = 1 \neq 0$であり、$c_1 \sigma_1(1) = 0$より$c_1 = 0$となり成り立つ。
$m-1$個のとき線形独立であると仮定し、$m$個の間に線形従属関係$\sum_{i=1}^m c_i \sigma_i(x) = 0 \quad (\forall x \in L)$が存在すると仮定する。ただしすべての$c_i$は0でないとしてよい。$\sigma_1 \neq \sigma_m$より、ある$y \in L$が存在して$\sigma_1(y) \neq \sigma_m(y)$となる。任意の$x \in L$に対し、自変数を$yx$と置き換えることで以下を得る。 $$\sum_{i=1}^m c_i \sigma_i(yx) = \sum_{i=1}^m c_i \sigma_i(y)\sigma_i(x) = 0$$ 一方で、元の関係式全体に$\sigma_m(y)$を乗じることで以下を得る。 $$\sum_{i=1}^m c_i \sigma_m(y)\sigma_i(x) = 0$$ 上の式から下の式を差し引くことで、末尾の項が消去され、次の関係式が導かれる。 $$\sum_{i=1}^{m-1} c_i (\sigma_i(y) - \sigma_m(y))\sigma_i(x) = 0$$ 帰納法の仮定より$\sigma_1, \dots, \sigma_{m-1}$は線形独立であるため、その係数はすべて0でなければならない。特に$i=1$のとき$c_1 (\sigma_1(y) - \sigma_m(y)) = 0$となる。$c_1 \neq 0$と仮定していたため$\sigma_1(y) = \sigma_m(y)$となり、これは$y$の選定に矛盾する。したがって、相異なる体準同型は線形独立である。

定理 3.1の証明 原始元定理 (補題 2.1) より、$L = K(\alpha)$となる$\alpha \in L$をとる。$\alpha$の$K$上の最小多項式を$f(X) \in K[X]$と置くと、多項式環の剰余環の性質より$L \cong K[X]/(f(X))$である。$L/K$はGalois拡大であるため、$f(X)$は$L[X]$においてすべての根が異なり、完全に一次式の積へと因数分解される。すなわち、以下が成り立つ。 $$f(X) = \prod_{\sigma \in G} (X - \sigma(\alpha))$$ ここで、以下の2つの環同型写像の合成を考える。

ステップ 1: 拡張にともなうテンソル積の同型写像$\theta$
テンソル積の底の変換（スカラー拡大）の一般性質から、次のような自然な同型が存在する。 $$\theta: L \otimes_K L \cong L \otimes_K \left( K[X]/(f(X)) \right) \cong L[X]/(f(X))$$ 任意の$b \in L$はある多項式$g(X) \in K[X]$を用いて$b = g(\alpha)$と表されるため、$\theta$の具体的な対応規則は $$\theta(a \otimes b) = a \cdot g(X) \pmod{f(X)}$$ となる。

ステップ 2: 中国式剰余定理にともなう同型写像$\omega$
$L[X]$において、各$\sigma \in G$に対する一次式$X - \sigma(\alpha)$たちは、根$\sigma(\alpha)$がすべて相異なることから、生成するイデアルが互いに素である。したがって、中国剰余定理 (補題 2.2) から次の同型が従う。 $$L[X]/(f(X)) \cong \prod_{\sigma \in G} L[X]/(X - \sigma(\alpha))$$ 各成分$L[X]/(X - \sigma(\alpha))$は$X \mapsto \sigma(\alpha)$という評価写像によって体$L$と同型であるため、全体として次の同型写像$\omega$が定まる。 $$\omega: L[X]/(f(X)) \longrightarrow \prod_{\sigma \in G} L, \quad H(X) \pmod{f(X)} \longmapsto (H(\sigma(\alpha)))_{\sigma \in G}$$
ステップ 3: 合成写像$\omega \circ \theta$の算出
任意の元$a \otimes b \in L \otimes_K L$（ただし$b = g(\alpha), \; g(X) \in K[X]$）に対する合成写像の挙動を追跡する。 $$\theta(a \otimes b) = a \cdot g(X) \pmod{f(X)}$$ $$\omega(a \cdot g(X) \pmod{f(X)}) = (a \cdot g(\sigma(\alpha)))_{\sigma \in G}$$ ここで多項式$g(X)$の係数はすべて基礎体$K$の元であり、$\sigma \in G$の作用で不変であるため、$g(\sigma(\alpha)) = \sigma(g(\alpha)) = \sigma(b)$が成り立つ。よって、 $$\omega(\theta(a \otimes b)) = (a\sigma(b))_{\sigma \in G} = \Psi(a \otimes b)$$ となる。写像$\Psi$は同型写像$\theta$と$\omega$の合成写像$\omega \circ \theta$に他ならないため、$\Psi$は可換環としての同型写像である。

定理 4.1の証明 定理 3.1 で確立された可換環の同型写像$\Psi: L \otimes_K L \to \prod_{\sigma \in G} L$の両辺に、以下のように$L$の元$x$による左乗算作用を定義することで、双方の空間を左$L$-ベクトル空間とみなす。 $$x \cdot (a \otimes b) := (xa) \otimes b \quad \left( a \otimes b \in L \otimes_K L \right)$$ $$x \cdot (y_{\sigma})_{\sigma \in G} := (xy_{\sigma})_{\sigma \in G} \quad \left( (y_{\sigma})_{\sigma \in G} \in \prod_{\sigma \in G} L \right)$$ このとき、写像$\Psi$が左$L$-作用と可換であることは、次の計算から明らかである。 $$\Psi(x \cdot (a \otimes b)) = \Psi(xa \otimes b) = (xa\sigma(b))_{\sigma \in G} = x \cdot (a\sigma(b))_{\sigma \in G} = x \cdot \Psi(a \otimes b)$$ したがって、$\Psi$は左$L$-ベクトル空間としての同型写像を誘導する。よって、両辺の$L$上のベクトル空間としての次元$\dim_L$は等しい。各辺の次元を個別に評価する。
左辺について、$L$の$K$上のベクトル空間としての基底を$\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$と置く（ただし$n = [L:K]$）。テンソル積の普遍性より、$L \otimes_K L$の任意の元は$\sum_{i=1}^n \alpha_i (1 \otimes v_i) \; (\alpha_i \in L)$の形に一意的に表される。したがって、$\{1 \otimes v_1, \dots, 1 \otimes v_n\}$は$L \otimes_K L$の左$L$-ベクトル空間としての基底であり、$\dim_L(L \otimes_K L) = [L:K]$である。
右辺について、体$L$の$|G|$個の直積空間を$L$上のベクトル空間とみなしたときの次元は、明らかに成分の個数そのものであるため、$\dim_L\left( \prod_{\sigma \in G} L \right) = |G|$である。
両者の次元を比較することで、$[L:K] = |G|$が導かれる。

定理 5.1の証明 まず、$\Phi$が環準同型であることを確認する。乗法の保存性を示すため、単項元$a\sigma$と$b\tau$をとる。任意の$x \in L$に対して、 $$\Phi((a\sigma)(b\tau))(x) = \Phi(a\sigma(b)\sigma\tau)(x) = a\sigma(b)\sigma(\tau(x))$$ 一方で、写像の合成としての挙動を計算すると、 $$(\Phi(a\sigma) \circ \Phi(b\tau))(x) = \Phi(a\sigma)(b\tau(x)) = a\sigma(b\tau(x)) = a\sigma(b)\sigma(\tau(x))$$ となり、これらは完全に一致する。和の保存性および分配法則は定義から自明であるため、$\Phi$は環準同型写像である。
次に、$\Phi$の単射性を示す。$\Phi\left( \sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma \right) = 0$と仮定すると、すべての$x \in L$に対して$\sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma(x) = 0$が成り立つ。しかし、補題 2.3（Dedekindの指標の独立性定理）より、相異なる自己同型写像$\sigma \in G$は$L$上線形独立である。したがって、すべての$\sigma \in G$に対して$a_\sigma = 0$でなければならず、$\mathrm{Ker}(\Phi) = \{0\}$より$\Phi$は単射である。
最後に、全射性を示す。$L$の$K$上の次元を$n = [L:K]$と置くと、定理 4.1 より$|G| = n$である。このとき、$L[G]$の$K$上のベクトル空間としての次元は$\dim_K(L[G]) = |G| \cdot [L:K] = n^2$である。一方、自己準同型環$\mathrm{End}_K(L)$の$K$上の次元も$\dim_K(\mathrm{End}_K(L)) = (\dim_K L)^2 = n^2$である。$\Phi$は有限次元ベクトル空間の間の単射$K$-線形写像であるため、次元の一致から自動的に全射となり、環同型であることが証明された。

補題 6.2の証明 $f \in A = \mathrm{End}_K(L)$が$C_A(M_L)$に属するための必要十分条件は、すべての$m \in M$に対して$f \circ \lambda_m = \lambda_m \circ f$が成り立つことである。任意の$x \in L$を代入すると、これは$f(mx) = mf(x)$と同値である。この性質は$f$が$M$-線形写像であることの定義そのものであるため、$C_A(M_L) = \mathrm{End}_M(L)$が成り立つ。

定理 7.1の証明 $A = \mathrm{End}_K(L)$と置く。定理 5.1 より、環の同型$\Phi: L[G] \cong A$が存在する。中間体$M \in \mathcal{M}$を固定したとき、補題 6.2 より$C_A(M_L) = \mathrm{End}_M(L)$である。この部分環$\mathrm{End}_M(L)$に対応する$L[G]$の部分集合を調べる。
$L[G]$の元$\sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma$が$\mathrm{End}_M(L)$に属するための必要十分条件は、任意の$m \in M$および$x \in L$に対して $$\sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma(mx) = m \sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma(x) \;\Longrightarrow\; \sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma(m)\sigma(x) = \sum_{\sigma \in G} a_\sigma m \sigma(x)$$ が成り立つことである。これが任意の$x$で成立するためには、各$\sigma$について$a_\sigma \sigma(m) = a_\sigma m$、すなわち$a_\sigma \neq 0$であるならば$\sigma(m) = m$がすべての$m \in M$で成立しなければならない。これは$\sigma \in \mathrm{Gal}(L/M)$であることと同値である。したがって、同型$\Phi$を通じて次の対応が得られる。 $$\mathrm{End}_M(L) \cong L[\mathrm{Gal}(L/M)] = \bigoplus_{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/M)} L\sigma$$
ここで、部分群$H \in \mathcal{H}$に対し、対応する部分環$L[H] = \bigoplus_{\sigma \in H} L\sigma$を考える。このとき、$L[H]$の$L_L$における中心化環$C_{L_L}(L[H])$を計算する。$A$の元としての左乗算$\lambda_x \; (x \in L)$が$L[H]$のすべての元と可換であるとは、任意の$\sigma \in H$および$y \in L$に対して$\lambda_x(\sigma(y)) = \sigma(\lambda_x(y))$、すなわち$x\sigma(y) = \sigma(xy) = \sigma(x)\sigma(y)$が成り立つことである。これが任意の$y$で成立することから$x = \sigma(x)$が導かれ、これは$x \in L^H$であることを意味する。ゆえに、以下が成り立つ。 $$C_{L_L}(L[H]) = (L^H)_L$$
以上の対応を組み合わせる。

1. 中間体$M$に対し、$H = \mathrm{Gal}(L/M)$と置く。このとき上記より$\mathrm{End}_M(L) \cong L[H]$である。二重中心化環の一般性質（あるいは$M$上の有限次元線形代数の議論）から、$C_A(\mathrm{End}_M(L)) = M_L$が成り立つ。これの$L_L$内での交叉を考えると、 $$(L^H)_L = C_{L_L}(L[H]) = C_A(L[H]) \cap L_L = C_A(\mathrm{End}_M(L)) \cap L_L = M_L \cap L_L = M_L$$ となり、各辺の元を比較することで$L^H = M$、すなわち$L^{\mathrm{Gal}(L/M)} = M$が得られる。
2. 部分群$H$に対し、$M = L^H$と置く。このとき上記より$L[H] \subset L[\mathrm{Gal}(L/M)]$である。双方の$K$上の次元を比較する。定理 4.1 を中間体$M$に適用することで、$[L:M] = |\mathrm{Gal}(L/M)|$である。また、自己準同型環の次元の性質から$\dim_M(\mathrm{End}_M(L)) = [L:M]^2$であり、これより$\dim_K(\mathrm{End}_M(L)) = [L:M] \cdot [L:K]$となる。一方で、ひねり群環の構成から$\dim_K(L[\mathrm{Gal}(L/M)]) = |\mathrm{Gal}(L/M)| \cdot [L:K]$である。これらが一致すること、および$L[H]$の次元が$|H| \cdot [L:K]$であることから、包含関係$L[H] \subset L[\mathrm{Gal}(L/M)]$において双方の次元が一致するためには$|H| = |\mathrm{Gal}(L/M)|$でなければならない。有限集合の部分群で位数が一致するため、$\mathrm{Gal}(L/L^H) = H$が成り立つ。

一連の対応により、写像が互いに逆写像であることが示され、Galois対応の一対一性が完全に証明された。